¿Hay alguna manera de descargar los correos sin que se conecte el usuario?

Puede darse el caso que queramos que se descarguen los correos de un usuario, pero este usuario no suele conectarse a Dolibarr para descargarlos.

Dentro del módulo 2Webmail, en la carpeta scripts hay un script para ejecutar mediante tareas programdas (CRON) para que descargue automáticamente los correos de uno o todos los usuarios.

Se trata del fichero ../webmail/scripts/download emails.php. Como primer parámetro se le pasa "all" para descargar los correos de todos los usuarios o "single" para descargar los de un usuario en concreto. Si se usa la opción de single, como segundo parámetro se deberá pasar el login del usuario del que se quieren descargar los correos.

Quedaría algo así:
php RUTA_DOLIBARR/webmail/scripts/download emails.php all
php RUTA_DOLIBARR/webmail/scripts/download emails.php single admin

Dependiendo del tipo de servidor la forma de ejecutar el script podría variar. Lo mejor es que hables con tu proveedor de hosting y te asesore sobre como ejecutar un fichero php y cuales son las rutas en el servidor hacia tu Dolibarr.